A Clifford analysis approach to higher spin fields

Fysica als wiskundig laboratorium

Een van de facetten van de moderne fysica is het bestuderen van elementaire deeltjes, de bouwstenen van ons universum op microscopische schaal. Net zoals vallende appels worden beschreven door de wetten van Newton, zo worden ook elementaire deeltjes beschreven door bepaalde bewegingsvergelijkingen. Dit zijn wiskundige vergelijkingen die ons in staat stellen om het gedrag van deeltjes te voorspellen. In tegenstelling tot vallende appels hebben elementaire deeltjes echter naast de gebruikelijke ruimtelijke vrijheidsgraden (objecten kunnen bewegen in alle mogelijke richtingen) ook een aantal interne vrijheidsgraden. Denk bijvoorbeeld aan de elementaire lading van een deeltje (waarbij we de quarks en hun fractionele lading voor de eenvoud buiten beschouwing laten): dit is een eigenschap met drie mogelijke labels (positief, neutraal of negatief). Bij elk van de interne vrijheidsgraden hoort evenzeer een label dat dan varieert over een eindig aantal mogelijkheden: dit zijn de zogenaamde kwantumgetallen van het deeltje.

Een typisch voorbeeld is het spin-kwantumgetal van een elementair deeltje: dit is een label dat iets zegt over het inwendige draaimoment (deze vrijheidsgraad staat beter bekend als de spin). Deeltjes met spin ½ bijvoorbeeld, zoals het elektron, hebben als eigenschap dat men de spin in een willekeurige richting kan meten (dit gebeurt aan de hand van magneetvelden), en dat levert telkens één van twee mogelijkheden met gelijke waarschijnlijkheid op. Vanuit wiskundig standpunt zegt men dan dat het elektronveld (de oplossing voor de bewegingsvergelijking die dit deeltje beschrijft) waarden aanneemt in een tweedimensionale representatie. Om het onderwerp van mijn thesis te situeren moeten we iets dieper ingaan op de betekenis van voorgaande zin, en daarvoor hebben we een cruciaal begrip nodig uit de moderne fysica: symmetrie.

Neem bijvoorbeeld de symmetrieën van een vierkant: dit zijn alle transformaties die men op een vierkant kan uitvoeren zonder daarbij 'iets te veranderen'. Zo kan men een vierkant draaien over veelvouden van 90 graden, of spiegelen over een diagonaal: elk van deze transformaties laat het vierkant ongewijzigd. Wanneer men nu al deze transformaties samen bekijkt, bekomt men een zekere wiskundige structuur (in dit geval een zogenaamde groep). Dit betekent dat er extra voorwaarden voldaan zijn die ervoor zorgen dat de groep meer is dan 'zomaar' een verzameling.

Niet alleen meetkundige figuren hebben symmetrieën, ook de fysisch relevante vergelijkingen hebben als eigenschap dat men transformaties kan uitvoeren die ze invariant laten. Zo zijn bijvoorbeeld de wetten van Newton overal in het universum gelijk: dit betekent dat de geassocieerde vergelijkingen invariant blijven onder translaties. Zoals te verwachten bekomt men ook hier een groep van symmetrieën, alleen is die iets moeilijker omdat er in tegenstelling tot de acht symmetrie-transformaties van het vierkant oneindig veel transformaties bestaan die de vergelijkingen van Newton invariant laten. Gelukkig hebben wiskundigen ook hier een uitweg gevonden: hoewel de groep oneindig veel elementen bevat, worden die allemaal voortgebracht door een eindig aantal elementen in een andere wiskundige structuur, de zogenaamde Lie-algebra, die dus in zekere zin fundamenteler is.

Voor massaloze elementaire deeltjes werkt men met de conforme Lie-algebra, waarvan de elementen hoekgetrouwe transformaties genereren. Zoals de naam doet vermoeden zijn dit alle transformaties die men kan uitvoeren zonder hoeken te vervormen: translaties (overal in het universum dezelfde wetten, net zoals bij Newton), rotaties, dilataties (uitrekken of inkrimpen) en inversies. Nu is het zo dat men in de abstracte algebra alle objecten heeft geclassificeerd waarop deze transformaties kunnen inwerken: dit zijn de zogenaamde representaties. Concreet wil dat zeggen dat als een fysische vergelijking invariant is onder de transformaties van hierboven, dat dan de bijhorende oplossing tot een van die representaties moet behoren. Bovendien is het zo dat elke representatie wordt vastgelegd door een uniek getal (de dimensie), en vanuit fysisch standpunt is dat niets anders dan het aantal inwendige vrijheidsgraden. Op die manier voorspelt de wiskunde achter de onderliggende symmetrie in feite de mogelijke elementaire deeltjes. Het deelgebied van de fundamentele wiskunde waarin dan de bewegingsvergelijkingen voor deze deeltjes wordt bestudeerd, noemt men de hogere-spin theorie. Recentelijk heeft deze theorie aan populariteit gewonnen, zowel bij wiskundigen als (theoretische) fysici. Zo wordt ze onder andere gebruikt om de gravitatiekracht op zeer kleine lengteschalen te bestuderen (kwantum-gravitatie).

In het eerste deel van de scriptie werd een verband gelegd tussen de eerder vermelde representaties van de conforme Lie-algebra en meer concrete objecten waarop technieken uit de zogenaamde Clifford-analyse (C-A) kunnen toegepast worden. Dit deelgebied van de klassieke analyse vormt het perfecte kader om de Dirac-operator (ingevoerd door Dirac in 1928, om de bewegingsvergelijking van het elektron te beschrijven) te veralgemenen naar willekeurige dimensie.  Dit is niet zomaar een wiskundige curiositeit: in sommige takken van de theoretische fysica heeft men meer dan de 4 gebruikelijke dimensies nodig (ruimte en tijd) om tot een consistente theorie te komen, denk maar aan de snaartheorie. Tot voor kort bestudeerde men voornamelijk eigenschappen van de Dirac-operator in C-A, maar enkele jaren geleden bleek dat ook andere deeltjes met halftallige spin binnen dit kader succesvol kunnen worden beschreven. Op die manier vond C-A dus haar plaats in de hogere-spin theorie.

In deze thesis werd dan aangetoond hoe ook bewegingsvergelijkingen voor deeltjes met willekeurige geheeltallige spin, zoals het foton (drager van de elektromagnetische kracht) en het graviton (drager van de gravitatiekracht), succesvol kunnen bestudeerd worden in willekeurige dimensies, door ze te veralgemenen naar C-A. In eerste instantie werden massaloze oplossingen bestudeerd, waarbij er geen interacties tussen de verschillende elementaire deeltjes werden verondersteld. Vervolgens werd de zogenaamde fundamentele oplossing of Greense functie geconstrueerd, welke kan gebruikt worden om de waarschijnlijkheid te berekenen dat een elementair deeltje van de ene plaats naar een andere voortbeweegt binnen een bepaalde tijd. Tenslotte is het de bedoeling om in verder onderzoek het verband tussen deeltjes met geheeltallige en halftallige spin bloot te leggen, op basis van analytische eigenschappen van de corresponderende bewegingsvergelijkingen. Op die manier kan dan een verband gelegd worden tussen twee abstracte theorieën die allebei geïnspireerd werden door de fysica, het laboratorium voor de wiskundige...